李硕彦谈三扇门里的趣味概率论

Posted by

4月15日晚7点,网络编码理论、代数交换理论的创立者,“网络编码之父”李硕彦做客第146期“科学研究方法论坛”。李硕彦将概率问题融入趣味故事设定,为同学们带来一场科学盛宴。

最初看到这个问题是初中的时候买了一本有关数学谜题的书里面概率论的一张的课后拓展就是说到三门问题,当时作为一个扩展阅读看了一下,里面说到了一个世界智商最高的女人秒杀了美国一大群的数学高材生的精彩故事,当时对这个问题也是似懂非懂。

“Let’s make a deal !”李硕彦以一场美国著名电视游戏节目《Let’s make a
deal
!》别开生面地导入主题。参与者在三扇门中随机选择,其中一扇后有奖金一万美元。在嘉宾奥巴马选定后,主持人开启了剩下两扇门中的一扇,结果为空。主持人随即询问奥巴马:“在剩下两扇未开启的门中,您是否想用本金一千美金来改变自己所选的门?”

威尼斯游戏网址 1蒙提霍尔

“那么奥巴马应该交换吗?在此过程中他赢得奖金的概率是否发生了变化?”李硕彦教授提出的问题引起了现场的热烈讨论。

蒙提霍尔问题,亦称为蒙特霍问题或三门问题(英文:Monty Hall
problem),是一个源自博弈论的数学游戏问题,大致出自美国的电视游戏节目Let’s
Make a Deal。问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔(Monty Hall)。

李硕彦表示,有时概率计算会成为获胜几率的关键,从抽象到具体,甚至融入游戏刺激感等元素。它越来越成为生活中的趣味调味剂,而非仅仅是课本上晦涩难懂的白纸黑字。“概率源于生活,同时用于生活。”李硕彦说。

最初的表述是:

三门问题,亦称为蒙提霍尔问题,大致出自这档节目。虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾,但十分违反直觉。在李硕彦公布“应该交换且概率加倍”的答案后,同学们或顿悟,或迷惑。讲解过程中,李硕彦提及后验概率的贝叶斯公式与条件概率两种解答方法,学生们随即提笔演算。

参赛者会看见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆汽车,选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车,而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门,但未去开启它的时候,节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇,露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是:换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率?

画图?公式带入?解法繁多但“万法归一”。1/3? $1/3M ?
四种情况逐一分析。“是2/3!”几分钟后一名学生算出了正确答案。现场俨然成为头脑风暴的集中地。

这个古老的问题一经提出就引起了剧烈的争论,有人认为换与不换最终得到车的概率都是1/2,有人认为换门之后得到车的概率更大,应该选择换门之后得到车的概率为2/3在撰写这篇文章的时候在果壳上还有人在为此争吵,知乎上也有许多关于这方面的讨论,其实这些争论很多情况下都是因这个问题的模糊表述所引起的,关键点在于主持人对于门后的情况是否了解

概率条件的叠加引起概率变化是本次讲座的重点。李硕彦用自己新编的“李自成故事”引入了三囚犯问题。“这三门问题实质相同,但在三门问题基础上不断叠加条件。”李硕彦旨在让学生们主动于变化中寻找普遍规律。

  1. 如果主持人事先知道哪个门里有山羊并且他特意选择了有山羊的门打开了,那么参赛者应该换另一扇门,这可以将他胜利的概率从1/3升到2/3
  2. 如果主持人事先不知道哪个门里有山羊或者他只是随机的选择了一个门,但事实发现里面恰好是山羊。这时候参赛者没有换门的必要,胜利概率总是1/2

威尼斯游戏网址,同时,李硕彦也提及了二维、三维甚至N维空间内的概率变化。例如二维空间内,在十字路口选择一个方向后将继续到达下一十字路口,那么在有限时间内,回到原点的概率为1。但在三维空间内对于同样的问题结果却小于1。李硕彦提醒同学们:“要注意相邻维度间的巧妙转换。”

为了后续的讨论,这里采用维基百科上对于这一个问题的不含糊的定义

讲座最后,李硕彦表示概率是科技中用得最广的一门数学,
它在通讯、电子、经管等领域随处可见。“它源于生活,更需要我们勤于思辨,巧学善用。”他总结说。

严格的表述如下:

  • 参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。
  • 主持人知道每扇门后面有什么。
  • 主持人必须开启剩下的其中一扇门,并且必须提供换门的机会。
  • 主持人永远都会挑一扇有山羊的门。
    • 如果参赛者挑了一扇有山羊的门,主持人必须挑另一扇有山羊的门。
    • 如果参赛者挑了一扇有汽车的门,主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。
  • 参赛者会被问是否保持他的原来选择,还是转而选择剩下的那一道门。

那么这个问题这可以很好的理解了,引用维基的一幅图片解析:

威尼斯游戏网址 2蒙提霍尔解答

有三种可能的情况,全部都有相等的可能性:

  • 参赛者挑汽车,主持人挑两头羊的任何一头。转换将失败。
  • 参赛者挑A羊,主持人挑B羊。转换将赢得汽车。
  • 参赛者挑B羊,主持人挑A羊。转换将赢得汽车。

所以玩家选择换门之后获胜的概率应为2/3

相关文章

Leave a Reply

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注